Topology- Set Theory, Functions

in Math

참고
[1] Topology 2e, James Munkres

Introduction

  • Function에 대한 정의를 Set의 개념에 통해서 접근해본다.
  • Function의 여러 구성요소와 operation에 대해서 알아본다.

Rule of assignment

  • 두 집합(\(C, D\))의 Cartesian product의 subset이다.
  • ordered pair에 있는 집합 \(C\) 에 있는 elemenet는 단 한개만 존재해야만 하는 Property가 있다.
  • many to one이라고 생각하면 쉽다.
\[\begin{aligned} \text{a subset r of C } \times \text{ D is a rule of assignment if} \\[1em] [(c, d) \in r \text{ and } (c, e) \in r ] \Rightarrow [d = e] \end{aligned}\]
  • rule of assignment r 이 주어져있을때, domain of r 은 rule의 ordered pair에 존재하는 집합 \(C\) 의 subset이다. 반대로 \(D\) 의 subset은 image set of r 이라고 부른다.
\[\begin{aligned} \text{domain r } = \{ c | \text{ there exists } d \in D \text{ such that } (c, d) \in r \} \\[1em] \text{image r } = \{ d | \text{ there exists } c \in C \text{ such that } (c, d) \in r \} \\[1em] \end{aligned}\]

Define function

  • function \(f\) 는 rule of assignment r 을 의미한다.
  • domain of the function \(f\) 는 domain A of the rule 을 의미한다.
  • image of the function \(f\) 는 image set of the rule 을 의미한다.
  • range of the function \(f\) 는 전체 set B를 의미한다.
  • function \(f\) 가 domain A와 range B를 가지고 있을때, 다음과 같디 표현한다.
\[\begin{aligned} \text{"} f \text{ is function from A to B"} \\[1em] f : A \rightarrow B \end{aligned}\]

restriction

  • function \(f : A \rightarrow B\) 가 있고 \(A_0\)가 \(A\)의 subset일때, restriction of \(f\) to \(A_0\) 는 다음을 의미한다.
\[\{(a, f(a)) | a \in A_0\}\]

injective, surjective, bijective

  • function \(f : A \rightarrow B\) 가 있고, A의 element가 assign하는 B의 element가 하나만 존재할 때, 함수 \(f\)를 injective function이라고 부른다.
\[[f(a) = f(b)] \Rightarrow [a = b]\]
  • image of \(f\)와 range of \(f\)가 **동일할 때, 함수 \(f\)를 surjective function이라고 부른다.
\[[b \in B] \Rightarrow [b = f(a) \text{ for at least one } a \in A]\]
  • injective 조건과 surjective 조건을 모두 만족시키는 함수를 bijective function이라고 부른다.
  • 만일 function \(f\)가 bijective이라면 \(f : B \rightarrow A\) 인 함수가 존재하며, 이를 inverse of \(f\) 라고 부르고 \(f^{-1}\) 로 표시한다.
  • \(f^{-1}(b) \Rightarrow f(a) = b\) 를 의미한다. \(f\) 의 surjective 조건은 \(f^{-1}(b)\) 가 존재하게 보장해주며, injective는 \(f^{-1}(b)\) 가 하나의 값을 나타내게 보장해준다.
  • inverse of \(f\) 또한 bijective function 이다.

Lemma by inverse function

\[\begin{aligned} &f : A \rightarrow B, g : B \rightarrow A, h : B \rightarrow A \\[1em] &\text{if } g(f(a)) = a \text{ for every } a \text{ in } A \text{ and } f(h(b)) = b \text{ for every } b \text{ in } B, \\[1em] &\text{then } f \text{ is bijective function and } g = h = f^{-1} \end{aligned}\]
  • \(g(f(a)) = a\) 는 함수 \(f\)가 injective function인 것을 보장해주고, \(f(h(b)) = b\) 는 surjective function인 것을 보장해준다.

image, preimage of set under \(f\)

  • 함수 \(f : A \rightarrow B\), \(A_0\) 는 \(A\)의 subset이라고 할때, \(f(A_0)\) 를 다음과 같이 정의하고 image of \(A_0\) under \(f\) 라고 부른다.
\[f(A_0) = \{ b | b = f(a) \text{ for at least one } a \in A_0 \}\]
  • \(B_0\) 를 \(B\) 의 subset이라고 할때, \(f^{-1}(B_0)\) 를 다음과 같이 정의하고 preimage of \(B_0\) under \(f\) 라고 부른다.
\[f^{-1}(B_0) = \{ a | f(a) \in B_0 \}\]
  • 반드시 \(f^{-1}\) 가 inverse of \(f\)를 의미하는 것은 아니다. \(f\) 가 bijective가 아닐때도 preimage를 정의할 수 있으며, preimage는 공집합일 수도 있다.
  • \(f^{-1}\) 은 inclusions, unions, intersections, differences of sets 에 대해서 preserves 하지만, \(f\) 는 오로지 inclusions와 unions에 대해서만 preserve 하다.
\[\begin{aligned} B_0 \subset B_1 &\Rightarrow f^{-1}(B_0) \subset f^{-1}(B_1) \\[1em] f^{-1}(B_0 \cup B_1) &= f^{-1}(B_0) \cup f^{-1}(B_1) \\[1em] f^{-1}(B_0 \cap B_1) &= f^{-1}(B_0) \cap f^{-1}(B_1) \\[1em] f^{-1}(B_0 - B_1) &= f^{-1}(B_0) - f^{-1}(B_1) \\[1em] B_0 \subset B_1 &\Rightarrow f(B_0) \subset f(B_1) \\[1em] f(B_0 \cup B_1) &= f(B_0) \cup f(B_1) \\[1em] f(B_0 \cap B_1) &\subset f(B_0) \cap f(B_1) \quad \text{ equality holds when f is injective.} \\[1em] f(B_0 - B_1) &\supset f(B_0) - f(B_1) \quad \text{ equality holds when f is injective.}\\[1em] \end{aligned}\]
  • if \(f : A \rightarrow B\) and \(A_0 \subset A \text{ and } B_0 \subset B\) 이라고 할때, 다음을 만족한다.
\[\begin{aligned} &A_0 \subset f^{-1}(f(A_0)) \quad \text{ equality holds when f is injective } \\[1em] &f(f^{-1}(B_0)) \subset B_0 \quad \text{ equality holds when f is surjective } \\[1em] \end{aligned}\]